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什么叫互質(zhì)數(shù)?

定義及定理：【對(duì)于兩個(gè)數(shù)來看 】 公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。

【對(duì)于多個(gè)數(shù)來看(教材定義)】 若干個(gè)最大公因數(shù)只有1的正整數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。

表達(dá)及運(yùn)用注意

(1)這里所說的“兩個(gè)數(shù)”是指除0外的所有自然數(shù)。

(2)“公因數(shù)只有 1”，不能誤說成“沒有公因數(shù)。”

(3)三個(gè)或三個(gè)以上自然數(shù)互質(zhì)有兩種不同的情況：一種是這些成互質(zhì)數(shù)的自然數(shù)是兩兩互質(zhì)的。如2、3、5.另一種不是兩兩互質(zhì)的。如6、8、9. 兩個(gè)正整數(shù)(N)，除了1以外，沒有其他公約數(shù)時(shí)，稱這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)。互質(zhì)數(shù)的概率是6/π^2

判定互質(zhì)數(shù)的方法：

直接分辨

(1)兩個(gè)不相同質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。例如，2與7、13與19.

(2)相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)。例如 15與 16.

(3)相鄰的兩個(gè)奇數(shù)是互質(zhì)數(shù)。例如 49與 51.

(4)大數(shù)是質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。例如97與88.

(5)小數(shù)是質(zhì)數(shù)，大數(shù)不是小數(shù)的倍數(shù)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。例如 7和 16.

(6)2和任何奇數(shù)是互質(zhì)數(shù)。例如2和87.

(7)1和任何自然數(shù)(0除外)都是互質(zhì)數(shù)。

計(jì)算判定法

(1)兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)(兩數(shù)相差較大)，小數(shù)所有的質(zhì)因數(shù)，都不是大數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。 如357與715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)。

(2)兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)(兩數(shù)相差較小)，這兩個(gè)數(shù)的差的所有質(zhì)因數(shù)都不是小數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如85和78. 　　85-78=7，7不是78的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

(3)兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)，大數(shù)除以小數(shù)的余數(shù)(不為“0”且大于“ 1”)的所有質(zhì)因數(shù)，都不是小數(shù)的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如 462與 221

462÷221=2……20，

20=2×2×5.

2、5都不是221的約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

(4)減除法。如255與182.

255-182=73，觀察知 73<182.

182-(73×2)=36，顯然 36<73.

73-(36×2)=1，

(255，182)=1.

所以這兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。