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科目代碼：692

科目名稱：數學分析

一、 考試的總體要求

《數學分析》是一門重要的數學基礎課程，由分析基礎、一元函數微分學和積分學、級數、多元函數微分學和積分學等部分組成。要求考生系統地理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和方法，并具有抽象思維能力、邏輯推理能力、計算論證能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、 考試的內容

1. 分析基礎

(1) 實數理論

要求 了解實數公理;理解上確界和下確界的意義;掌握絕對值不等式及平均值不等式;掌握函數的奇偶性、單調性、周期性、有界性等特殊性質。

(2) 數列極限

掌握數列極限與函數極限的概念(ε-N語言、ε-δ語言的描述)，理解無窮大(小)量的概念及基本性質;

掌握極限的性質(唯一性、有界性、保號性)及四則運算性質、單調有界收斂定理、Cauchy收斂準則、迫斂性(兩邊夾、夾擠)原理、兩個重要極限;數列極限的概念與性質，單調有界定理與柯西收斂原理

(3) 函數極限

函數極限的概念與性質，柯西收斂原理，兩個重要極限，會應用兩個重要極限求解相關問題。

(4) 函數的連續性

連續的概念與性質，閉區間上連續函數的性質：有界性、最值性、介值性(零點定理)、一致連續性。

(5) 多元函數的極限與連續性

2. 一元函數微分學

(1) 導數和微分

理解可導與可微、可導與連續的概念及其相互關系，理解導數的幾何意義;理解函數極值點與極值、凸性、拐點等概念;

掌握(高階)導數、微分的四則運算與復合函數求導運算法則;掌握左、右導數的概念以及分段函數求導方法。

會用導數研究函數的單調性與極值性，會用二階導數研究函數的凸性與拐點;熟練應用介值定理。

(2) 微分中值定理

掌握微分中值定理及其在根的判定、不等式、不定式極限(洛必達法則)等方面的應用;

掌握泰勒公式及其在極限、極值點判定等方面的應用;

掌握極值與最值的求法、凸的等價定義、以及凸性在不等式等方面的應用。

3.實數的完備性

區間套、聚點、開覆蓋的概念。

(1)理解聚點概念及其刻畫，理解區間套、開覆蓋等概念;

(2)理解關于實數完備性的六大基本定理及其證明思想;

(3)會用實數完備性定理證明閉區間上連續函數的有界性、最值性、介值性(零點定理)、一致連續性。

4. 一元積分學

(1) 不定積分

掌握原函數、不定積分的概念及其基本性質;

熟記不定積分的基本公式，掌握換元積分法和分部積分法，會求初等函數、有理函數和三角有理函數的積分。

(2) 定積分

定積分的概念與性質，可積條件，牛頓---萊布尼茨公式，換元法與分部積分法，積分中值定理，微積分基本定理

掌握定積分的概念、可積條件、可積函數類;

掌握定積分的性質，熟練掌握微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理;掌握變上限積分的性質。

(3) 定積分的應用

能用定積分計算平面圖形的面積、弧長、旋轉體的體積與側面積以及一些物理量的計算。

(4) 反常積分

反常積分的概念與性質，收斂判別法。

理解反常積分收斂的概念、Cauchy收斂準則;熟練掌握反常積分收斂性的比較判別法，狄利克雷判別法、阿貝爾判別法。

5. 級數

(1) 數項級數

正項級數，交錯級數，一般項級數，要求熟練掌握級數收斂性的判別法

(2) 函數項級數

要求會求收斂半徑，收斂域，判斷一致收斂性，熟練掌握一致收斂的函數項級數的性質

(3) 冪級數

要求掌握冪級數的概念與性質，會求函數的冪級數展開式

(4) 傅立葉級數

掌握周期函數傅立葉級數的展開與收斂性的判別。

6. 多元微分學

(1) 偏導數與全微分

可微性，偏導數，高階偏導數，鏈式法則，方向導數與梯度

(2) 多元微分學的應用

中值定理，泰勒公式，極值與條件極值，隱函數定理及應用

(3) 含參變量的積分

7. 多元積分學

(1) 重積分

二重積分的定義，計算與變量替換，三重積分的定義，計算與變 量替換

(2)曲線積分

第一型曲線積分，第二型曲線積分，格林公式

(3)曲面積分

曲面的面積，第一型曲面積分，第二型曲面積分，高斯公式，斯托克斯公式

三、考試的題型：

判斷題、填空題、計算題、證明題、綜合分析題等。