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一、數學運算

【經典真題詳解】

1．互補數法

如果兩個數的和正好可以湊成整十、整百、整千時，就可以認為這兩個加數互為補數，其中一個加數叫做另一個加數的補數。

【例題11(2007年浙江)

5764－1532－2468＝( )。

A．764    B．1467    C．1674   D．1764

【解析】**為D。此題可先將兩個減數相加，1532＋2468＝4000，然后再用被減數減去這兩個減數之和，即5764－4000＝1764。

【例題21(2004年國家)

8742÷8÷125＝( )。

A．7．092     B．8．742   C．87．42   D．874．2

【解析】**為B。此題可以轉化為8742÷(8×125)＝( )。先運算括號，得1000，然后再除8742，得8．742。

2．湊整法

湊整法是簡便運算中最常用的方法，即根據交換律、結合律把可以湊成10、20、30、50、100、1000…的數字放在一起先湊成整數，再進行運算，從而提高運算速度。

【例題1】(2002年國家)

999×5＋99×6＋9×8＝(    )。

A．5660    B．5661   C．5662    D．5663

【解析】**為B。這是一道乘法湊整的題。如果直接將兩數相乘則較為復雜、費時間，如果用湊整法，則大大簡化了計算的繁瑣程度。本題可以轉化為∶(1000－1)×5＋(100－1)×6＋(10－1)×8＝5000－5＋600－6＋80－8＝5661。

【例題2】(2006年廣東)

8．721＋3．618＋6．382＋5．279＋4．763＝(    )。

A．23．472    B．25．921    C．28．763    D．32．478

【解析】**為C。本題為小數湊整法。認真觀察題目，可以發現8．721＋5．279＝14，3．618＋6．382＝10，即本題可以轉化為14＋10＋4．763＝28．763。

【例題3】(2006年江蘇)1996＋1997＋1998＋2004＋2003＝( )

A．11996   B．11997    C．11998    D．11999

【解析】**為C。此題可以轉化為(1996＋2004)＋(1997＋2003)＋1998＋2000＝( )。即4000＋4000＋1998＋2000＝1998。

3．尾數估算法

尾數估算法是簡便運算中常用的一種排除備選項的方法。在四則運算中，如果幾個數的數值較大，運算復雜，又沒有發現運算規律時，可以先利用個位或小數部分進行運算得到尾數，再與選項中的尾數部分進行對比，如果有唯一的對應項，就可立即找到**?？忌绻龅絺溥x**的尾數都不相同的題目時，可以首先考慮此種方法，快速找出**。

考生應該掌握的尾數變化的基本常識有∶

2ⁿ是以“4”為周期變化的，即尾數分別是2，4，8，6…

3ⁿ是以“4”為周期變化的，即尾數分別是3，9，7，1…

4ⁿ是以“2”為周期變化的，即4，6…

5ⁿ、6”尾數不變。

7ⁿ是以“4”為周期變化的，即7，9，3，1…

8ⁿ是以“4”為周期變化的，即8，4，2，6…

9ⁿ是以“2”為周期變化的，即9，1…

【例題1】(2004年國家)

1999¹⁹⁹⁹的末尾數字是(    )。

A．1    B．4    C．7    D．9

【解析】**為D。該題目不需要考生逐次進行計算。考生只要運用尾數估算法就能不費吹灰之力得到**。因為9的奇數次冪的尾數是9，偶數次冪的尾數是1，1999為奇數次冪，故1999¹⁹⁹⁹的末尾數字是9。

【例題2】(2002年國家)

(1．1)²＋(1．2)²＋(1．3)²＋(1．4)²的值是( )。

A．5．04    B．5．49    C．6．06    D．6．30

【解析】**為D。各項的最后一位小數相加∶8＋0＋1＋3＋0＝12，即尾數之和的尾數為2，所以84．78＋59．50＋121．61＋12．43＋66．50的尾數應該為2，故選D。

4．基準數法

當有兩個以上的數相加且這些數相互接近時，可以取一個中間數作為基準數，然后用基準數乘以項數，再加上每個加數與基準數的差，從而求得它們的和。

【例題1】(2007年國家)

78＋81＋76＋85＋80＋83＝( )。

A．481    B．482    C．483   D．484

【解析】**為C。仔細觀察，可知算式中的各個加數都接近80，所以把80作為基準數，即原題目變為∶80×6－2＋1－4＋5＋3＝483。

【例題IJ題2】(2008年山東)

1997＋1998＋1999＋2000＋2001＋2002的值是( )。

A．11995     B．11996    C．11997   D．11998

【解析】**為C。觀察該題，發現算式中的數字都接近2000，則可以選取2000作為基準數，即原題目變為∶2000×6－3－2－1＋1＋2＝11997。

5．數學公式法

數學公式法是運用數學公式進行運算的一種簡便運算方法。靈活運用一些數學公式可以大大提高運算效率，節約答題時間，因此，考生需要掌握因式分解、前n項和公式等基本公式(見“知識要點清單”)。

【例題1】(2007年北京)

32×73＋32×16的值是( )。

A．2838    B．2848    C．2148   D．2158

【解析】**為B。此題中含有相同因數32，可用公式a×6＋a×C＝a×(6＋c)來計算，即32×(73＋16)＝32X89＝2848。

【例題2】(2006年福建)

46²－82⁸－16²的值是(    )。

A．932    B．936   C．1032    D．1036

【解析】**為C。這種類型的題目可以運用平方差公式，即a²－6²＝(a＋6)(a－6)計算。46²－16²＝(46＋16)(46－16)＝1860，則1860－828＝1032。

【例題3】(2004年廣東)

2＋4＋6＋…＋22＋24的值是( )。

A．153    B．154    C．155   D．156

【解析】**為D。在該題中，項數＝(24－2)÷2＋1＝12，數列之和＝(2＋24)×12÷2＝156。

6．替換法

【例題】(2004年國家)

2002×20032003－2003×20022002的值是( )。

A．－60   B．0    C．60   D．80

【解析】**為B。原式一2002×2003×10001－2003×2002×10001＝2002×2003×(10001－10001)＝0。故選B。

7．排除法

【例題】(2005年北京)

117580÷15的值是(    )。

A．7375    B．7545    C．7457   D．未給出

【解析】**為D。這道除法題的被除數尾數是0，除數的尾數是5，因此，其商數的尾數必然是雙數，但是四個選項中的A、B、C三項尾數皆為單數，所以都應排除，本題選項中實際上沒有給出正確**。

二、大小判斷

這種類型的題目一般不需要進行具體的數字計算，只要能找到某個判斷標準就可以進行判斷了。比較數大小的方法很多，在解題時，要根據所給試越的特點，選擇合適的比較方法。一般來說，有下列幾種判斷方法∶

(1)對于任意兩個數，如果a－6>0，則a>6；如果a－6<0，則a<6；如果a－b＝0，則a＝b。

(2)對于任意兩個數，如果不是很方便比較大小時，常選取中間值C，然后口、b分別與c比較，進而比較口、b的大小。

(3)當a、6為任意兩個正數時，如果a/b>1，則a>6；如果b/2<1，則a<6；如果a/b＝1，則a＝6。當a、6為任意兩個負數時，如果a/b>1，則a<6；如果a/b<1，則a>6；如果a/b＝1，則a＝b。

(4)當a、b為任意兩個正數時，如果a²－b²>0，則a>b。

(5)當a、b為任意兩個正數時，如果1/a>1/b，則a<b。