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云南省專升本數學專業《數學分析》考試考核目標

    考生應理解和掌握《數學分析》中函數、極限、連續、微分學、積分學和級數的基本概念、基本理論、基本方法。應具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和空間想象能力，能運用所學知識正確拙推理證明，準確、簡捷地計算。能綜合運用數學分析中的基本理論、基本方法分析和解決實際問題。

云南省專升本數學專業《數學分析》考試內容

    一、函數、極限與連續

    (一)函數

    1．知識范圍
    函數的概念，函數的表示法與四則運算，復合函數，反函數，五類基本初等函數，初等函數，有界函數，單調函數，奇函數與偶函數，周期函數。

    2．考核目標
    (1)正確理解和掌握函數的概念，熟練地求函數的定義域和一些函數的值域。
    (2)理解和掌握有界函數、單調函數、偶函數、奇函數與周期函數概念，并會用定義判斷函數的類別。
    (3)理解函數的四則運算與反函數的概念，掌握函數的復合運算。
    (4)掌握五類基本初等函數的定義與主要性質。

    (二)極限

    1．知識范圍
    數列極限的定義，數列極限的唯一性、有界性、保號性、保序性，兩邊夾定理，四則運算定理，單調有界定理。
    函數極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，當X→∞(X→+∞，X→-∞)時函數極限的定義，函數極限的唯一性，局部有界性，局部保號性，局部保序性，四則運算定理，兩邊夾定理，海涅定理。兩個重要極限： 。
    無窮小量與無窮大量的定義及其他們的關系、性質及無窮小量階的比較。

    2．考核目標
    (1)理解和掌握數列極限與函數極限的概念，會用定義證明極限中一些有關問題。
    (2)熟練地應用極限的唯一性、有界(局部有界)性、保號(局部)性、保序(局部)性證明有關問題。
    (3)應用四則運算定理、兩邊夾定理、單調有界定理和兩個重要極限，熟練地求極限。
    (4)理解無窮小與無窮大概念。

    (三)連續

    1．知識范圍
    函數在一點左連續、右連續與連續的概念，在區間上連續，函數的間斷點及其分類。
    函數在一點連續的性質：局部有界性，局部保號性，四則運算法則，復合函數與反函數的連續性。初等函數的連續性。
    函數在閉區間上連續的性質：介值定理，零點定理，最值定理，一致連續性定理。

    2．考核目標
    (1)理解和掌握函數連續的概念，函數一致連續的概念。
    (2)理解和掌握函數在一點處的連續性，并能應用它證明有關問題。知道間斷點的分類。
    (3)掌握閉區間上連續函數的性質(不包括它們的證法)，能用這些性質證明有關問題。
    (4)知道初等函數在其定義區間上連續。

    二、一元函數微分學
 
   (一)導數與微分

    1．知識范圍
    導數的定義，左、右導數的定義，導數的幾何意義，可導與連續的關系。    ．
    求導的運算法則：包括四則運算法則、復合函數的導數、反函數的導數、參數方程求導法，以及分段函數求導法。
    微分的定義，微分與導數的關系，微分法則，一階微分形式不變性。
    高階導數的概念及計算。
    導數的幾何應用。

    2．考核目標
    (1)掌握導數、微分的定義及幾何意義，了解它們的差異。
    (2)牢記導數公式，會用四則運算法則、復合函數求導法、參數方程求導法熟練地求函數的導數。
    (3)會求一些函數的高階導數。
    (4)熟練地計算函數的微分。

    (二)微分中值定理和泰勒公式

    1．知識范圍
    費爾馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式。

    2．考核目標
    (1)掌握費爾馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理的條件、結論和證明方法，會用拉格朗日定理證明一些恒等式與不等式。
    (2)記住的馬克勞林公式，會用它們求一些簡單函數的展開式。

    (三)導數的應用
 
    1．知識范圍
    羅必達法則，函數的單調性及其判定，應用函數的單調性證明不等式，函數的極值及其判定，最值的求法，函數的凹凸性及其判定，拐點，漸近線，函數作圖。
 
    2．考核目標
    (1)熟練地應用羅必達法求待定型的極限，特別是型。
    (2)掌握用導數判定函數的方法。
    (3)掌握用函數的單調性證明不等式的方法。

    三、一元函數積分學

    (一)不定積分

    1．知識范圍
    原函數與不定積分的概念，不定積分的運算法則，基本積分公式表。
    不定積分的第一換元法、第二換元法、分部積分法。一些簡單有理函數的積分。簡單元理函數和三角函數有理式的積分。

    2．考核目標
    (1)掌握原函數與不定積分的概念。
    (2)牢記不定積分公式表，熟練地用換元法和分部積分法求不定積分。
    (3)會求簡單有理函數，簡單無理函數和三角函數有理式的積分。

    (二)定積分

    1．知識范圍
    定積分的概念，可積的必要條件，三類可積函數。定積分的性質：包括線性線，有限可加性，單調性和積分第一中值定理。定積分的計算，可變上限積分，牛頓一萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法。

    2．考核目標
    (1)理解定積分概念，記住三類可積函數。
    (2)掌握定積分的性質和微積分基本定理，熟練地應用牛頓一萊布尼茲公式計算定積分。
    (3)熟練地用定積分換元積分法和分部積分法求定積分。

    (三)定積分在幾何上的應用

    1．知識范圍
    平面區域的面積，平面曲線的弧長，利用截面面積計算立體的體積，旋轉體的側面積和體積。

    2．考核目標
 
   會用定積分求平面區域的面積，平面曲線的弧長，旋轉體的側面積和體積。
    (四)廣義積分
    1．知識范圍
    無窮區間上廣義積分收斂、發散的概念、絕對收斂與條件收斂的概念，收斂性判別法。
    2．考核目標
    (1)掌握無窮積分收斂與發散的概念，掌握無窮積分絕對斂與條件收斂的概念。
    (2)會用收斂的定義和收斂性判別法判別一些無窮積分的散性。

    四、級數

    (一)數值級數

    1．知識范圍
    數值級數的部分和，收斂與發散，和與余和的概念，收斂級的性質，收斂的必要條件，柯西準則。
    正項級數的比較判別法，達朗貝爾判別法，柯西判別法。
    任意項級數的絕對收斂、條件收斂概念，交錯級數及其斂散的萊布尼茲判別法。

    2．考核目標
    (1)掌握級數收斂與發散的概念，絕對收斂與條件收斂的念。
    (2)牢記級數的斂散性，熟練地應用比較判另法、達朗貝爾判別法和柯西判別法判別正項級數的收斂性。
    (3)熟練地用萊布尼茲判別法判定交錯級數的收斂性。

    (二)冪級數

    1．知識范圍
    冪級數的收斂半徑、收斂域。冪級數和函數的連續性，可微性與可積性。
    函數的泰勒展開，函數的馬克勞林展開式。

    2．考核目標
    (1)會求冪級數的收斂半徑、收斂域和函數。
    (2)記住五個函數的馬克勞林展開式，并能應用它們將一些簡單函數展開成冪級數。

    五、多元函數微分學

    (一)多元函數微分學

    1．知識范圍
    多元函數的概念，二元函數的定義域，二元函數的重極限與累次極限，二元函數連續的概念，有界閉區域上連續函數的有界性、最值性、介值性和一致連續性。
    多元函數的偏導數、二階偏導數、全微分，復合函數的偏導數與二階偏導數。

    2．考核目標
    (1)理解二元函數重極限和累次極限的定義，會求二元函數的重極限與累次極限。
    (2)理解二元函數連續的定義與有界閉區域上連續函數的性質。
    (3)熟練地求偏導數、全微分和高階偏導數，包括復合函數的二階偏導數。
 
    (二)二重積分

    1．知識范圍
    二重積分的概念，二重積分的性質，二重積分的計算，包括化重積分為累次積分，用極坐標變換計算二重積分。應用二重積分計算空間形體的體積、平面圖形的面積。

    2．考核目標
    (1)理解二重積分的概念，了解二重積分的性質。
    (2)熟練地計算二重積分，包括用極坐標變換計算二重積分。
    (3)會用二重積分計算一些簡單空間形體的體積和平面圖形的面積。
 
    (三)曲線積分

    1知識范圍
    第一、二型曲線積分的定義、性質和計算方法，格林公式，平面曲線積分與路徑無關的條件。

    2．考核目標
    (1)熟練地計算第一、二型曲線積分。
    (2)會用格林公式計算第二型曲線積分。知道曲線積分與路徑無關的條件。會求P(x，y)dx+Q(x，y)dy的原函數。