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容斥問(wèn)題涉及到的相關(guān)知識(shí)是我們初高中學(xué)習(xí)的集合的概念，對(duì)于容斥問(wèn)題的考查主要涉及到兩者容斥、三者容斥以及容斥極值問(wèn)題。事業(yè)單位的考試中曾經(jīng)多次考查，故而，對(duì)于容斥問(wèn)題，大家一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)兩者容斥的相關(guān)公式、三者容斥的相關(guān)公式以及容斥極值的相關(guān)公式。今天就帶領(lǐng)大家一起來(lái)學(xué)習(xí)容斥極值的相關(guān)內(nèi)容。

一、容斥極值的題型特征

1、 給出全集

2、 給出各個(gè)部分(也即各個(gè)集合)

3、 關(guān)注提問(wèn)：一般求多集合相交的最小值

二、容斥極值的公式

多集合相交的最小值=所有集合的數(shù)據(jù)和-(集合個(gè)數(shù)-1)*全集

比如，兩集合相交最小值=A+B-I

三集合相交最小值=A+B+C-2*I

四集合相交最小值=A+B+C+D-3*I

其中，A、B、C、D表示集合，I表示全集

三、例題精講

例1、某中學(xué)在高考前夕進(jìn)行了4次數(shù)學(xué)摸底考試，成績(jī)一次比一次好;第一次得80分以上的比例是70%;第二次得80分以上的比例是75%;第三次是85%;第四次是90%;請(qǐng)問(wèn)在四次考試中都得80分以上的學(xué)生的百分比至少是多少?

A 40% B 30% C 20% D 10%

【答案】C

【解析】根據(jù)常識(shí)可以判斷全集為100%;將每次考試看成是一個(gè)集合的話，第一次考試80分以上是A集合;第二次考試80分以上是B集合;第三次80分以上是C集合;第四次80分以上是D集合，那么這道題目求的就是四集合相交的最小值，直接用四集合相交的公式就可以。

四集合相交最小值=A+B+C+D-3*I=70%+75%+85%+90%-3*100%=20%

例2、某班30人，數(shù)學(xué)22人優(yōu)秀，語(yǔ)文25人優(yōu)秀，英語(yǔ)20人優(yōu)秀，這三科全部?jī)?yōu)秀的學(xué)生至少有多少人?

A 7 B 6 C 5 D 4

【答案】A

【解析】根據(jù)題意可得全集為30;將數(shù)學(xué)、語(yǔ)文以及英語(yǔ)分別看成是A、B、C三個(gè)集合，每個(gè)集合的數(shù)據(jù)也已知;最后題目求三科全部?jī)?yōu)秀的學(xué)生至少有多少人，即求三個(gè)集合相交的最小值，直接用三集合相交的最小值。

三集合相交的最小值=A+B+C-2*I=22+25+20-2*30=7

對(duì)于容斥極值問(wèn)題，大家首先要根據(jù)題型特征能夠判斷出此題是容斥極值問(wèn)題;其次是記住容斥極值問(wèn)題的公式，然后利用公式進(jìn)行求解;最終確定是最終的答案。只要做到這兩步，最終必定能夠成功破解容斥極值問(wèn)題，得出最終的答案。